Probabilidad y Estadistica

MES 3: COMPRENDE REPESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. En una fábrica se utilizan tres máquinas A,B y C par producir independientemente el mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200 y la C 300, y todas las cajas contienen el mismo número de artículos. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0,06 para la máquina A, 0,02 para la B y 0,01 para la C. De la producción de un día se escoge al azar una caja y se extrae un artículo de esta caja también al azar. Calcular la probabilidad:
a)Que el articulo escogido sea defectuoso.
b)Que el articulo escogido haya sido fabricado por la máquina B, sabiendo que es defectuoso.

Respuesta.

a) El enunciado nos muestra que P(A)=1/6, P(B)=1/3, P©=1/2.
Usando la fórmula de las probabilidades totales se obtienen la probabilidad pedida:

2.-La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de

que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es

de 0.08. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia? b) ¿Cuál es la

probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?

P(EV) = 0.35 ; P( SL ) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08

P(EV U SL ) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42

P(SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286

3.-La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un

profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50.

Encuentre la probabilidad de que una persona a) Posea un teléfono celular y sea profesionista; b) Sea

profesionista dado que no posee un teléfono celular; c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista.

P(CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50

P(CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10.

P(PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846

P(CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40

4.-La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de

que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a

tiempo es de 0.40. Calcule la probabilidad de que el avión: a) Llegue a Houston dado que no llegó a tiempo a

Denver; b) Llegue a Houston dado que llegó a Tiempo a Denver.

P(D ) = 0.30; P(H) = 0.40; P(H’ ∩ D’ ) = 0.40

P(H | D’) = 0.30/0.70 = 0.4286

P(H | D) = 0.10/0.30 = 0.3333

5.-En una encuesta realizada a 200 personas se obtuvieron los siguientes resultados :

TIPO DE PRODUCTO QUE PREFIERE

OCUPACION A B C D Total

AMA DE CASA 14 6 10 30 60

EMPLEADO 10 5 20 35 70

PROFESIONISTA 12 15 8 35 70

TOTAL 36 26 38 100 200

Si se selecciona al azar a una de estas 200 personas encontrar la probabilidad de que la persona :

Prefiera el producto C dado que se sabe que no es empleado.

P(C | EM’) = 18/130 = 0.13846

Sea profesionista dado que se sabe que le gusta el producto D.

P(PF | D) = 35/100 = 0.35

6.-En un estudio realizado entre un grupo de profesionistas se determinó el grado de escolaridad máximo

alcanzado y el nivel de ingresos. Los resultados se muestran en la tabla de abajo

INGRESOS

ESCOLARIDAD ALTOS MEDIOS BAJOS TOTAL

BACHILLER 18 27 5 50

PROFESIONAL 26 38 16 80

POSTGRADO 9 15 9 33

TOTAL 53 80 30 163

Si se selecciona al azar a un profesionista, encuentre la probabilidad de que:
Tenga ingresos altos dado que tiene escolaridad de postgrado.
P( A | PG) = 9/33 = 0.2727
Tenga escolaridad de bachiller dado que se sabe que tiene ingresos medios.
P(BC | M) = 27/80 = 0.3375

7.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

8- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio

muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.

Una variable aleatoria se puede clasificar en:

Variable aleatoria discreta.

Variable aleatoria continua.

Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos

cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos

valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

Dada una variable aleatoria $\scriptstyle X$ , su función de distribución, $\scriptstyle F_X(x)$ , es

$F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice $\scriptstyle X$ y se escribe, simplemente, $\scriptstyle F(x)$ . Donde en la fórmula anterior:

$\mathrm{Prob}\,$ , es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

$\mu_P\,$ es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

$\Omega\,$ es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

$X:\Omega\to \R$ es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales

Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Es una función continua por la derecha.
Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$

$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$

Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $(a < b)$ , los sucesos $( X \le a )$ y $( a < X \le b )$ son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso $( X \le b )$ , por lo que tenemos entonces que:

$P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )$

$P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )$

y finalmente

$P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)$

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución $F(x)$ para todos los valores de la variable aleatoria $x$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

$F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$ .

[editar]Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

Distribución binomial
Distribución binomial negativa
Distribución Poisson
Distribución geométrica
Distribución hipergeométrica
Distribución de Bernoulli
Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.
Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

Distribuciones de variable continua

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que: